UKBM
(UNIT KEGIATAN BELAJAR MANDIRI)
Kompetensi Dasar :
A. Notasi Sigma
Salah satu cara untuk menuliskan jumlah dari suatu barisan bilangan adalah menggunakan simbol (baca sigma), yaitu salah satu huruf kapital Yunani, yang berarti jumlah.
Contoh :
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 =
Contoh :
1. Tulislah dengan notasi sigma dari 1 + 3 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
Jawab :
Dari k = 1 sampai k = 8
2. Hitunglah
Jawab :
= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56
= 168
SOAL LATIHAN
1. Tentukan notasi sigma dari 2 + 4 + 6 + 8 + … + 18
2. Hitunglah nilai dari
3. Tentukan hasil dari
Sifat-sifat Notasi Sigma
, dimana C merupakan suatu konstanta
, dimana C merupakan suatu konstanta
, ruas kanan disebut jumlah monomial
B. Induksi Matematika
Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika ialah “induksi matematika” atau disebut juga dengan “induksi lengkap”. Prinsip induksi matematika untuk pembuktian di jelaskan sebagai berikut :
Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat semua bilangan asli n dan misalkan a adalah bilangan asli yang tetap, maka cara pembuktian dengan induksi matematika sebagai berikut :
1. Periksa apakah pernyataan tersebut benar untuk bilangan asli n = a = 1
benar
2. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka harus dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1
Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar untuk
Jadi, dari (1) dan (2) pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan asli n
benar untuk semua
Pembuktian pertama disebut basis dan pembuktian kedua disebut langkah induksi
C. Metode Pembuktian Induksi Matematika
1. Pernyataan Matematis Berupa Barisan
Contoh Soal
Buktikan bahwa
Penyelesaian
Langkah 1 : Basis
Harus dibuktikan bahwa P(1) benar, yaitu bahwa pernyataan benar untuk n = 1. Sebagai basis, diambil n = 1 karena akan dibuktikan kebenaran pernyataan untuk ( n terkecil = 1) , sehingga :
Ruas kiri = Ruas kanan
Jadi, pernyataan benar untuk n = 1
Terbukti P(1) benar ………… (1)
Langkah 2 : Induksi
Akan dibuktikan impilkasi : P(k) benar benar
P(k) benar berarti :
Untuk
=
=
Terbukti P (k+1) benar …………… (2)
Berdasarkan langkah (1) dan (2), disimpulkan bahwa P(n) benar untuk
Soal latihan
Buktikan pernyataan matematis dengan induksi matematika
2. Pernyataan Matematis Berupa Ketidaksamaan
Contoh Soal
Buktikan untuk setiap bilangan asli n
Penyelesaian
Langkah 1 : Basis
Untuk n = 1, maka 1 < 31, sehingga rumus berlaku untuk n = 1
Langkah 2 : Induksi
Misalkan rumus berlaku benar untuk n = k, maka k < 3k
Untuk n = k + 1 akan dibuktikan k + 1 <
Rumus terbukti benar untuk n = k + 1
Jadi untuk setiap bilangan asli n
3. Pernyataan Matematis Berupa Keterbagian
Contoh Soal
Buktikan habis dibagi oleh ( a + b )
Bukti
Cara 1
Dibuktikan benar bahwa n = 1 habis di bagi ( a + b )
benar habis di bagi ( a + b )
Di misalkan n = k benar habis di bagi ( a + b )
habis di bagi ( a + b )
Dibuktikan benar bahwa n = k + 1 habis di bagi ( a + b )
benar habis di bagi ( a + b )
Soal latihan
1.
2.
3. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli
4. Buktikan bahwa habis dibagi 3
5. Buktikan bahwa habis di bagi 2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar